Matematik Öğretimi



Timur Karaçay

Başkent Üniversitesi

Ankara



Matematik öğretiminin durumunu belirlemek ve değerlendirmek icin, herşeyden önce, şu iki soruya açık yanıtlar vermek zorundayız.

  1. Matematik nedir?

  2. Neden Matematik öğretiyoruz?

Bunlara vereceğimiz yanıtlara göre, matematik öğretiminin hedeflerini çizmek ve bu hedeflere götürecek öğretimin niteliklerini belirlemek olanağı doğacaktır. Ondan sonra, yürürlükteki matematik öğretiminin durumu incelenebilir, değerlendirmesi yapılabilir.



Bu nedenle, konuşmamın ilk iki bölümünde bu soruları yanıtlamaya çalışacağım.

Konuşmama geçerken, bana verilen konu ile söyleyeceklerim arasındaki ilişkiyi sınırlandırmak gereğini duyuyorum. “Matematik Öğretiminin Bugünkü Durumu” ve “Değerlendirilmesi” konularının her ikisi de yüzbinlerce gencin eğitimini ve dolayısıyla ülkenin gelecekteki on yıllarını temelden etkileyecek bir olgudur. Bu büyük olgunun yarattığı sorunların birkaç konuşmayla çözümlenmesine olanak olmadığı apaçık bir gerçektir. Yeterli uzman, yetki ve mali destekle donatılmış bir örgütle yapılacak bilimsel incelemeler sonunda ancak ortaya çıkarabilecek bu sorunları, burada bilimsel yönüyle ortaya koyamayacağımız ve bilimsel çözüm yolları öneremeyeceğimiz açıktır. Dolayısıyla, sözlerimin, kişisel görüşlerim olmaktan öte bilimsel olma savı taşımadığını, öncelikle, belirtmeliyim.

Matematik öğretiminin nasıl olması gerektiği konusundaki tartışmaların Plato Akademisine kadar; yani 2500 yıl geriye giden bir geçmişi vardır. Örgün eğitimin bütün dünyada yaygınlık kazandığı 20.yüzyıl başlangıcından sonra diğer alanlarda olduğu gibi matematik öğretimi, hem içerik hem öğretim yöntemleri açısından sık sık tartışma ve inceleme konusu olagelmiştir. Hatta 1899 yılında H.Fehr ve C.A. Laisant tarafından Uluslararası bir komisyon kurulmuştur. (Hawson, pp.88). Bu komisyon, bir yandan tek başlarına yaptıkları çalışmaları destekliyor, çıkardığı L’Enselgnement Mathematique adlı dergisiyle konuya katkıda bulunuyor ve her dört yılda bir toplanan Uluslararası Matematik Kongresinde daha boyutlu tartışmalar açıyordu. 1960 yıllarında matematikve fen öğretimi pek çok ülkede görülmemiş bir önemde gündeme geldi. Dünya Matematik Kongresi, matematik öğretimini konu edinecek bir alt komisyon kurdu. “Uluslararası Matematik Öğretimi Komisyonu” adını alan bu komisyon şimdi her dört yılda bir toplanmaktadır. İçerik ve yöntem tartışmaları 1960’lı yıllardaki hızını kaybetmiş olmakla beraber, o yılların getirdiği denemelerin ışığında daha serinkanlı çalışmaların sürdürüldüğü bir gerçektir. UNESCO, Avrupa Birliği, ABD’de çeşitli etkin sivil toplum örgütleri Matematik Öğretimini sürekli olarak gündemlerinde tutmaktadırlar.

Ülkemizde de matematik öğretimi konusu, hemen hemen ileri ülkelerle birlikte ele alınmış ve değişik projeler ve denemeler yapılmıştır. Bu çalışmalar sonunda, adına “Modern Matematik” denilen yeni bir öğretim izlencesi (müfredat) hazırlanmış ve bütün ortaöğretimde yürürlüğe konulmuştur.

Bu toplantıda incelenecek ve değerlendirilecek olan öğretim izlencesi budur.



A - MATEMATİK NEDİR?

TDK Matematik Terimleri Sözlüğünde matematiğin tanımı şöyle verilmektedir:

“Biçim sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri usbilim yoluyla inceleyen ve sayıbilgisi, cebir, uzambilgisi gibi dallara ayrılan bilim”.

Yerli ve yabancı başka pek çok sözlük ve ansiklopedinin de benzer tanımı yaptıklarını görüyoruz. Ancak, konu matematik öğretiminin niteliğini saptamaya gelince, bu tanımların yetmediğini görüyoruz. Matematiğin, bireyi ve toplumu hangi işlevleriyle nasıl etkilediğini bilmek gereğini duyuyoruz.

Matematik dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklardan uygarlıklara zenginleşerek geçen sağlam, kullanışlı ve evrensel bir dil, bir ekindir. Birey için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez değerdedir. Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir sanattır.

Hiçbir din, hiçbir dil, böylesine kalıcı ve etkin olamamıştır.

Onbinlerce yıl önce yaşamış olan ilkel topluluklarda ve hatta daha sonra oluşup tarımla ve hayvancılıkla uğraştıkları bilenen ilkel uygarlıklarda bile bir matematik ekin yaratılmış olduğunu gösteren izlere raslanmamıştır. Matematikte dikkate değer ilk bilgileri Babil, Mısır ve Çin uygarlıklarının kalıtlarında görüyoruz. Bu kalıtlara dayanırsak, eski uygarlıklardan beri altı bin yıllık bir geçmişi olduğunu söyleyebilirz. Birçok uygarlıkların bize ulaşan bu bilgiler, bugün de, ilk kez ortaya çıktıkları günkü kadar taze, doğru ve görkemlidir. Matematiği evrensel bir dil yapan nitelik budur. Bu nitelik başka hiçbir bilim dalında yoktur.

İnsanoğlu, binlerce yıl boyunca, doğa olaylarını açıklamaya, içinde yaşadığı evreni bilmeye ve doğaya egemen olmaya çabalamaktadır. Bu çabada onun en sağlam aracı, matematiktir. Yüzbinlerce yıl gizlerine akıl erdiremediği için insanoğluna bir kargaşa (kaos) ya da doğaütü görünen pek çok olayın açıklamasını matematikle verebilmiştir. Şimdi gök cisimlerinin hangi yörüngede nasıl devindiğini; mevsimlerin nasıl oluştuğunu biliyoruz. Ayın ve güneşin ne zaman, nerede tutulacağını önceden hesaplıyor ve bu olguları Tanrıların gazabına bağlamıyoruz. İnsanın sınırsız kuşkusu, merakı, tutkusu bu kadarla yetinmemiştir. Nedenini anladığı doğa olaylarını, istediği biçmde yönlendirmeye başlamıştır. Bu yönlendirmede kullandığı başlıca araç, gene matematiktir. Bunlardan birisi olarak, temel yapısı matematiğe dayanan “Elektrik ve Magnetizma Kuram”nı düşünelim. Bu kuram olmadan radyolarımız çalmaz, telvizyonlarımız göstermez, evlerimiz aydınlanmaz, fabrikalarımıza enerji akmaz, röntgen aygıtı çalışmaz, dünyayı ve gökleri saran haberleşme ağı kurulamaz, vb.

İnsanoğlu, onbinlerce yıldır süregelen doğaya egemen olma çabasında değerli bilgiler üretmiştir.O, yeni bilgilerin elde edilmesi, elde edilen bilgilerin açıklanması, denetlenmes ve sonraki kuşaklara devredilmesi için, yer ve zamana bağlı olmayan güvenilir bir araca gerekseme duymuştur. Bu araç, matematiktir. İnsanda yüzbinlerce yıl önceden başlayan mukayese kavramı, giderek, sayma ve sayılarla işlem yapma becerisine ulaşmıştır. Sayıların nesnelerden bağımsız oluşu; gerektiğinde değişik nesne ya da olgulara karşılık gösterilerek durum ya da olayları açıklamaya yarayışı, matematiğin soyut yapısal özelliklerinin ortaya çıkışını ve modelleşmesini sağlamıştır. Örneğin 5 x 80 = 400 işlemi birçok durum ya da olayı temsil edebilir. Bunlardan bazılarını şöyle sıralıyabiliriz:

(a)Tanesi 80 lira eden 5 nesnenin tutarıdır. (b) Saatte 80 km. Hızla giden bir otobüsün 5 saatte alacağı yoldur. (c) Eni 5m, boyu 80 m olan bir alanın yüzölçümüdür. (d) 80 kg lık kuvvetle, bir cismin 5m. ötelenmesi sonunda yapılan iştir... Bunun gibi, bir tek matematiksel modelin birçok somut durum ve olayı temsil edebilme yeteneği, onun “soyut” diye nitelenen üstün bir özelliğidir. Bu niteliksayesinde, öteki işlevlere ek olarak, matematik, durum ve olguları belirlemekte ve olayları önceden kestirmekte, belgin kılmaktadır. Bu nedenle, bazı kişilerin, matematiğin çok soyut düşüncelerle uğraştığını belirten görüşleri doğru ve geçerli olamaz. Gerçekte, matematiksel modellerin, somut varlıklara ya da fiziksel olaylara bağlanması zorunluluğu olsaydı, akıl için, bilim için felaket olurdu. Matematiğin somut varlıklarından ve fiziksel olaylardan arınıp soyutlanabilmesi özelliği, aynı zamanda, onun, insanların ortak düşünme aracı olmasını; yani evrensel bir olmasını ve durmaksızın gelişmesini sağlamıştır. Örneğin, mukayese, sayma ve sayılarla işlem yapma eylemlerini içeren aritmetiğin soyutlanmasıyla cebir doğmuştur. Cebir bilim dalı, aritmetiğin soyutlanmasıyla cebir doğmuştur. Cebir bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir. Somut varlıkların ölçümlerinin ve biçimlerinin incelenmesinden geometri bilim dalı doğmuştur ve bugün bu bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir. Somut varlıkların ölçümlerinin ve biçimlerinin incelenmesinden geometri bilim dalı doğmuştur ve bugün bu bilim dalı somut varlıklardan arındırılmış soyut matematiksel modellerin güzel örneklerini içermektedir. Bu modellerin en önemlilerinden birisi ve en eskisi Öklit Geometrisidir. 2000 yılı aşkın bir zaman dilimi içinde, insanlık, yakın çevresindeki durumnu ve devinimlerini de bu model içinde açıklamaya çalışmıştır; hatta bir süre, evreni temsil eden tek modelin Öklit Geometrisi olduğuna inanmıştır. Ancak 19. Yüzyıl ortalarına doğru, Öklit dışı soyut geometri modelleri kurulmuş ve zamanla bu geometrilerin de evreni temsil etmeye yetenekleri ortaya çıkarmıştır. Özellikle, Einstein’in görelilik (realitivity) kuramının Riemann Geometrisiyle açıklanması, soyut modellere ilgiyi artırmıştır.

Geometri ve cebir bilim dallarının birleşmesi ya da yardımlaşmasından pratikve kuramsal değerleri olan yeni dallar doğmuştur. Bunlar arasında, ortaöğretimde önem taşıyanlar trigonometri, analitik geometri ve topoloji diye sıralanabilir. Antik-çağ matematikcilerinin eksiklerini sezdikleri ama ussal bilgiye dönüştüremedikleri önemli bir kavram vardır ; Sonsuzluk… 17. Ve 18. Yüzyılda, fiziksel olayların açıklanabilmesi için ortaya atılan sonsuz küçükler (infinitesimat) hesabı, bu yöndeki büyük ir adımdır. 20. Yüzyıl başlarında ussal ve sistemli bilgiler disiplini olarak ortaya konan sonsuzluk kavramı, 6000 yıllık matematikte gerçekleşen en büyük aşamadır, ğn büyük devrimdir!... Sonsuzun doğuşunu sağlayan etmenlerden biri olan limit kavramının, dört işleme eklenen beşinci bir işlem olarak matematiğe girişi, “analiz” adıyla anılan büyük ve önemli bir bilim dalını doğurmuştur. Analizin doğuşunu ve gelişimini sağlayan zorlayıcı etmenlerin başında fizik gelir. Klasik fiziğin hemen her probleminin çözümü, analizin bilgi sınırlarını zorlamış ve onu gelişmeye itmiştir. Bugün klasik fizikte doğa olaylarının açıklanması, analiz bilim dalının kesin egemenliği altındadır. Benzer olgu, çağdaş fizik için de olmaktadır. Klasik fiziğin çözümleyemediği bazı doğa olaylarının açıklanabilmesi için yeni kuramlara gerekseme duyulmiştir. Bu amaçla, 1924-28 yılları arasında Kuantum Fiziği kurulmuştur. Bu yeni kuramın temelleri de adına “çağdaş analiz” ya da “fonksiyonel analiz”denilen matematik dalının ortaya çıkmasını sağlamıştır. Bu gelişim, doğa olaylarının matematiksel modellerle temsiline yeni ve önemli örnekler getirmiştir. Örneğin, ışığın miteliğini Schrödinger’in Dalga Mekaniği Kuramı ile Heisenberg’in Matris Mekaniği Kuramı farklı biçimlerde ama doğru olarak açıklıyorlardı. Kuantum Fiziğinin bu önemli problemine, “Fonksiyonel Analiz” bilim dalı, mükemmel ve zarif bir çözüm getirmiştir: Schrödinger’in kuramı L²-fonksiyon uzayı içine, Heisenberg’in kuramı ise l²-dizi uzayı içine yerleştirilmekte ve bu modeller içinde açıklanmaktadır. İki kuramın farklı görüntüsü buradan gelmektedir. Ama, bu iki uzay, matematiksel açıdan yapıları biribirlerine denk olan iki uzaydır. Dolayısıyla iki kuram birbirine denktir.

Buna benzer olarak, önemli bazı fiziksel problemleri temsil eden diferansiyel denklemlerin çözümleri bilinen fonksiyonlar türünden elde edilememekte; bunun yerine, çözüm fonksiyonlarının sonsuz boyutlu uzaylardaki bilesenleri elde edilebilmektedir. Bu olgu, matematiğe ve fiziğe geniş ufuklar açarken; sonsuz boyutlu uzalların kurulması, yapısal özelliklerinin incelenmesi ve doğa olaylarının bu uzaylarının bu uzaylar içinde açıklanması gibi işleri, çağımız matematiğinin canlı araştırma konuları yapmaktadır.

Öte yandan, matematiğin mantıktan çıktığı, matematiğin mantığın gelişmiş bir biçimi olduğu ya da mantığın matematiğin bir dalı olduğu gibi görüşlere sık sık rastlanır. Matematik ile mantığı hangi dar ya da geniş çerçeve içinde aldığımıza bağlı olarak, bu görüşleri irdeleyebiliriz. Ama, matematiksel usa vurma yöntemleriyle mantığı iç içe olduğunu kabul etmek zorundayız.

Burada matematiğin ayrıntılı bir sınıflandırmasını yapmanın pratik bir yararını görmüyorum. Mathematical Review’un sınıflandırmasına göre 60 ın üzerinde alt bilim dalı vardır. Bu dallar arasında olasılık, istatistik, bilgisayar gibi dalların artık, bütün dünyada, ortaöğretim kapsamına girdiği görülmektedir.

Bazı kişiler, matematikte hemen her şeyin ortaya çıkarıldığını ve artık yeni bilgi üretiminin durduğunu sanırlar. Bilimciler, herhangi bir dalda bulguların bitmeyeceğini ve bilgi üretiminin durmayacağını iyi bilirler. Matematikte bilgi üeretimi hızı, günden güne artmaktadır. Mathematical Review’da bir yılda tanıtılan yeni bulgu sayısı 10.000’iaşmaktadır. Bu hızlı gelişim içerisinde, matematik öğretim izlencelerinin sürekli incelenmesi ve zamanı gelince değiştirilmesi kaçınılamayacak bir olgudur.

Matematik, yalnızca, yukarıda söylenenlere benzer doğa olaylarını açıklamak için mi uğraşır? Hayır… Matematiğin ilgi alanı sınırlanamaz. Kişiyi günlük yaşamında etkileyen basit olgulardan başlayıp, evrenin yapısına kadar giden düşüncelerin hepsinde matematik vardır. Ona verilebilecek nitelikler de pek çoktur. İnsanlığın ortak düşünme aracıdır, evrensel dildir, bilimdir, sanattır… O, insan aklının güzelliğini ve yüceliğini gösteren yetkin bir yapıttır.



  1. MATEMATİĞİ NEDEN ÖĞRETİYORUZ?

Her ülkede, her düzeydeki okulda matematik öğretiminin gerekirliği hemen

hemen tartışılmaz bir kanı olarak yerleşmiştir. Hatta denilebilir ki bir ulusun eğitim dizgesinde matematiğe ayrılan yer, o ulusun kendi dilini öğretmek için ayrılan yere eşdeğerdir. Bundan da öte, öğrencilerin matematikteki başarı düzeyinin, öteki derslerde gösterdikleri başarıdan daha belirleyici rol oynadığı kanısı, toplumun her kesiminde yaygındır. O halde, matematik öğretiminin neden gerekli olduğunun herkes tarafından iyice bilindiği varsayılabilir. Ancak, toplumun çeşitli kesimlerinde ve hatta eğitimle ilgili kişiler arasında bu soruya yanıt aramaya kalkarsak, matematik öğretimini gerekli kılan nedenlerin, ya hiç bilinmediğini ya da ‹‹20. Yüzyılda matematik bilgisi olmadan normal bir yaşamın sürdürülemeyeceği›› gibi tartışmaya taban oluşturamayan yerleşik kanıların tekrarlandığını görürüz. Bunun yanında, özellikle, konuya eğitsel açıdan bakan bazı kişilerin, matematik öğretiminin, çocukta doğuştan gelen yeteneklerin ortaya çıkmasını ve gelişmesini sağladığını savundukları görülebilir.

Eğitim ve öğretimin her basamağında iyi bir matematik öğretiminin yapılabilmesi için, hedeflerin iyi belirlenmiş olması gerekir. Bu hedeflerin doğru belirlenebilmesi için ‹‹matematiği neden öğretiyoruz? Sorusuna verilebilecek yanıtlar eksiksiz olarak ortaya konmalıdır. Bu bölümde, önem sırası gütmeksizin, matematik öğretimini gerekli kılan genel gerekçeleri ve sonra, matematiğin kullanıldığı alanları sıralayacağız.



  1. Matematik Öğretiminin Genel Gerekçeleri:

  1. Matematik güçlü, özlü ve belgin evrensel bir iletişim aracıdır. Bütün

çağlarda insanlığın ortak dili olmuştur. Bu niteliklerden ötürü yaygın öğretimde yarar ve hatta gereksinim vardır.

  1. Yetişkin insanın kendi gündelik yaşamında matematik bilgi ve

becerisine gereksemesi vardır.

  1. İş ve meslekte matematik bilgi ve becerisine gerekseme vardır.

  2. İleri düzeydeki öğrenim için yeterli matematik bilgi ve becerisine

gerekseme vardır.

  1. Matematiğe özel yeteneği olanları ve matematiği bir sanat ya da bir

zevk aracı olarak gösterecek kişilere gerekli bilgilerin kazandırılması, eğitimin hedefleri arasında olmalıdır.

  1. Matematik, mantıksal düşünmeyi öğrenmenin; kesinliğe erişmenin ve

evrensel doğruları bulmanın bir aracıdır. Bu aracı kullanmayı öğretmek, gerekli ve yararlıdır.



  1. Matematiğin Kullanıldığı Alanlar:

  1. Doğa olaylarını anlama ve doğaya egemen olma çabasında; temel

bilimlerde,

  1. Teknikte, teknolojide, mühendisliğin her türünde,

  2. Biyoloji, tıp, eczacılık, tarım, gıda, vb. Bilim ve uygulama alanlarında,

  3. Ticaret, ekonomi, işletme, endüstri, maliye vb. Alanlarda,

  4. Askeri amaçlarda,

  5. Kurum ve Devlet yönetiminde,



Matematik öğretiminin gerekçelerine ve kullanım alanlarına bakarak, herkesin

öğrenmesi gereken konuları içeren bir öğretim izlencesi (müfredat) hazırlama olanağı yoktur. Ama, çağımızda her normal insanın bilmesi gereken ortak konular şöyle sıralanabilir :

Farklı yaş grupları ve farklı amaçlı okullar için yukarıda sıralanan temel

konularla birlikte, o okulun amacına uyan başka bilgileri de kapsayan öğretim izlencelerini (müfredat) hazırlamak gerekir. Ayrıca nasıl ki resim, müzik, spor, edebiyat gibi alanlar özel yetenek istiyor ve herkese öğretilemiyorsa; matematik öğrenimi de özel yetenek ister. Bu nedenle, aynı amaçlı okulda okuyan aynı yaş grubundaki öğrencilerin matematiği eşit düzeyde öğrenme olanağı yoktur. Bu nedenle, hem öğretim izlencesinin saptanması hem de öğretim yöntemlerinin geliştirilmesi büyük önem taşır [2,4,6].





6